Юрій Олександрович є вихованцем пензенської школи хокею. Втім, найкращі роки його кар'єри пов'язані з київським "Соколом". Протягом 16 років Юрій Шундров захищав ворота київського клубу, з яким здобув бронзові медалі чемпіонату СРСР, а також кілька разів ставав чемпіоном України.
До "Сокола" Шундров перейшов в кінці 70-х з пензенського "Дизеліста" і на багато років став основним голкіпером киян. У 1985 році разом з командою завоював бронзові медалі союзного чемпіонату. Провів два матчі у складі збірної СРСР. А за національну команду України відіграв 23 поєдинки, учасник чемпіонату світу 1999 року.
У складі збірної України був учасником чотирьох чемпіонатів світу: 1995, 1997, 1998, 1999 (елітний дивізіон). Усього за національну збірну провів 23 матчі (30 пропущених шайб).
Як тренер Шундров попрацював у національній та молодіжній збірних України, а також магнітогорському "Металурзі", московському ЦСКА і ХК "Сочі".
Пенсія зросте майже на 1000 грн: хто може сподіватися на підвищення
Українцям дозволили не сплачувати за комунальні послуги: коли рахунки можна "заморозити"
Перевірки від газовиків вийшли на новий рівень: українцям розповіли про документ, який треба підписати
Податкова перевіряє українців за кордоном: що вже відомо
Тренерську діяльність розпочав у юніорській збірній України (2002-2003). Двічі входив до тренерського штабу національної збірної України (2006-2008 та 2010-2011). Був одним з тренерів російських команд "Металург" (2008-2010), ЦСКА (2011-2013) і ХК "Сочі" (2014-2017).
Як повідомляв портал Знай.ua, помер легендарний хокеїст "Спартака".